MATEX

1ª - fator comum.

 

Observe o polinômio 2x + 4y + 6z. Podemos perceber que todos os coeficientes (números) são divisíveis por 2. Então, podemos reescrever esse polinômio como sendo 2 vezes algum polinômio.

 

2x + 4y + 6z = 2 . (   ?    )

 

Para encontrar o "polinômio misterioso", basta dividir 2x +4y +6z por 2.

2x : 2 = x        4y : 2 = 2y        6z : 2 = 3z

 

2x + 4y + 6z = 2 . ( x + 2y + 3z )

 

Outro exemplo: 10a² + 15ab

Observando a parte numérica, podemos perceber que tanto o 10 quanto o 15 são divisíveis por 5. A na parte literal, o "a" está presente em todos os termos. Então, o fator comum a todos os termos seria "5a".

 

10a² + 15ab = 5a . (    ?    )

 

Para encontrar o "polinômio misterioso", basta dividir 10a² + 15ab por  5a.

10a²: 5a = 2a        15ab : 5a = 3b

 

10a² + 15ab = 5a . (2a + 3b)

 

Último exemplo:

24x³ - 16x² + 8x

 

Na parte numérica, o maior divisor comum (mdc) seria o 8. Na parte literal, o "x" está presente em todos. O fator comum seria "8x".

 

24x³ - 16x² + 8x = 8x . (3x² - 2x + 1)

 

 

2ª - agrupamento

 

Observando o polinômio ax + bx + ay + by, não encontramos nenhum número ou variável presente em todos os termos. Podemos então, fazer como diria Jack, o estripador: "Vamos por partes". Vamos separar este polinômio em polinômios menores.

 

ax + bx + ay + by

 

Na primeira parte, o "x" é fator comum. Na segunda parte, o "y" é fator comum. Fatoramos cada parte.

 

x . (a + b) + y.(a + b)

 

Agora, analisando o polinômio parcialmente fatorado, vemos que (a + b) está presente em ambas as partes. Então (a + b) é o fator comum!

 

x . (a + b) + y.(a + b) = (a + b) . (  ?  )

 

x . (a + b) + y . (a + b) = (a + b) . (x + y)

 

Outro exemplo: 4a³ - 6a²b + 10ab² - 15b³

 

Não há fator comum a todos. Então, separamos em grupos.

 

4a³ - 6a²b + 10ab² - 15b³

 

Observando a primeira parte:

- O maior divisor de 4 e 6 é 2.

- O "a" aparece no mínimo 2 vezes em cada termo. 

Então, 2a² é o fator comum.

 

Observando a segunda parte:

- O maior divisor de 10 e 15 é 5.

- O "b" aparece no mínimo 2 vezes em cada termo. 

Então, 5b² é o fator comum.

 

2a² (2a - 3b) + 5b²(2a - 3b)

 

Agora podemos perceber que (2a - 3b) está presente em todo o polinômio. Ele é fator comum!

 

2a² (2a - 3b) + 5b² (2a - 3b)

 

(2a - 3b) . (2a² + 5b²)

 

 

 3ª - produtos notáveis

 

Às vezes não há fator comum, e também é difícil fazer agrupamento. Nesse caso, podemos observar para ver se é um tipo de Produto Notável.

 

Os três produtos notáveis mais usuais são:

 

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a - b)² = a² - 2ab + b²

(a + b)(a + b) = a² - b²

 

Observe o polinômio x² - 81. Não há fator comum, nem podemos agrupar. Mas ele é do terceiro tipo de produto notável!

 

x² - 81 = x² - 9² = (x + 9).(x - 9)

 

Observe o polinômio 9x² - 6xy + y². É do segundo tipo de produto notável!

9x² - 6xy + y² = (3x)² - 2 . 3x . y + y² = (3x - y)²

 

Agora, o polinômio 25x²y² + 30xyz + 9z². Esse é do primeiro tipo de produto notável.

25x²y² + 30xyz + 9z² = (5xy)² + 2 . 5xy . 3z + (3z)² = (5xy + 3z)²